Най-лесното обяснение е, че можем да направим всяка периодична дроб, която искаме. Нека вземем 0, втората цифра да бъде a1, a2... до an. И после се повтаря. Единственото, което трябва да направите е да вземете тази редица – от a1 до an – и да го разделите на число със същия брой 9.
За нашия пример, 1/81, взимаме 012345679 и го делим на 999 999 999. Получаваме периодичната дроб, за която стана дума. Или просто 1/81. Не всички подобни дроби се опроставят толкова добре. Вижте защо. Тук има една малка формула:
1 + 2x + 3x2 + 4х3... и т.н. до безкрайност.
Но, ако х е по-малко от 1, тази формула се опростява по страхотен начин на 1 върху (1 – х)2.
Нека х = 1/10.
1 върху (1 – x)2 е 1,23456... или 100/81.
Това, което ни интересуваше (1/81) e същото – просто сто пъти по-малко.
А защо липсва 8? Нека се върнем на формулата 1 + 2x + 3x2... Когато събирате резултатите от нея в колона, получавате това:
9 + 1 = 10, нула и едно наум. 8... плюс едно наум... става 9.
Същото се случва и при 1/ 998 001.
Вижте.
